鱗目界域-龍論壇

Saphira

虬龍

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2025龍主題數學競賽計劃

最近在關注某個羣舉辦的龍文徵集活動，突然想到是不是還可以舉辦一個“硬核”點的活動，於是這個計劃誕生了。

打算春節正式開始，提前10天開放報名。競賽共3題，參與者有24小時答題時間。只看最終答案是否正確，按得分發放遊戲類獎品。歡迎各位鱗友前來挑戰！

說是數學競賽，但以趣味性爲主，不需要多少專業知識。高數不掛科，配合少量編程知識應該能輕鬆滿分。

會在本帖緩慢更新樣卷（共3題）

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Saphira

虬龍

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回应： 2025龍主題數學競賽計劃

1. 傳說有一種龍的壽命很長。它們在999歲及之前死亡的概率爲0，在1000歲時的死亡概率爲1‰，之後每年的死亡概率爲前一年死亡概率+n‰，n爲龍的當前年齡減1000。請問這種龍最有可能在多少歲時死亡？

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針對第一個問題，我讓chatGPT用python計算了一下結果  ，結果如下：

首次發生該事件最有可能出現在第 1009次，此時的概率約爲 6.28%。

龍爪翻書

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[↑] @Anbach 寫道: 針對第一個問題，我讓chatGPT用python計算了一下結果  ，結果如下：  首次發生該事件最有可能出現在第 1009次，此時的概率約爲 6.28%。 …

我也用chatGPT計算了~

但算出來的是1015歲    

(chatGPT思考了2分鐘5秒，印象中我還是第一次遇到思考這麼久的~)

最后修改： 龍爪翻書 (2025-01-05 00:05:01)

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[↑] @龍爪翻書 寫道:    我也用chatGPT計算了~  但算出來的是1015歲       (chatGPT思考了2分鐘5秒，印象中我還是第一次遇到思考這麼久的~) …

我檢查了一下，下面的代碼應該沒有錯。並且驗證了最終求和結果也爲1。  

# 定义发生概率的函数
def occurrence_probability(k):
    if k < 1000:
        return 0  # 前999次发生概率为0
    prob = 1.0
    for i in range(1000, k):  # 计算前 k-1 次未发生的概率
        prob *= (1 - (i - 999) / 100)
        if prob < 1e-10:  # 避免过小的概率
            break
    prob *= (k - 999) / 100  # 第 k 次发生的概率
    return prob

# 计算从第1000次到第1099次首次发生的概率
k_range = range(1000, 1100)
probabilities_range = [occurrence_probability(k) for k in k_range]

# 输出概率列表
for k, prob in zip(k_range, probabilities_range):
    print(f"第 {k} 次的概率: {prob:.10f}")

# 求和验证
total_prob = sum(probabilities_range)
print(f"从第1000次到第1099次的概率总和: {total_prob:.10f}")

輸出的結果爲：

第 1000 次的概率: 0.0100000000
第 1001 次的概率: 0.0198000000
第 1002 次的概率: 0.0291060000
第 1003 次的概率: 0.0376437600
第 1004 次的概率: 0.0451725120
第 1005 次的概率: 0.0514966637
第 1006 次的概率: 0.0564746745
第 1007 次的概率: 0.0600245112
第 1008 次的概率: 0.0621253691
第 1009 次的概率: 0.0628156510
第 1010 次的概率: 0.0621874944
第 1011 次的概率: 0.0603784037
第 1012 次的概率: 0.0575607449
第 1013 次的概率: 0.0539299902
第 1014 次的概率: 0.0496926338
第 1015 次的概率: 0.0450546547
第 1016 次的概率: 0.0402112793
从第1000次到第1099次的概率总和: 1.0000000014

羽落

虬龍

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[↑] @Anbach 寫道:    我檢查了一下，下面的代碼應該沒有錯。並且驗證了最終求和結果也爲1。       輸出的結果爲：    …

1000歲應該是0.001吧？

在1000歲時的死亡概率爲1‰

另外題目中

之後每年的死亡概率爲前一年死亡概率+n‰，n爲龍的當前年齡減1000。

那麼1000歲死亡概率0.001
1001歲爲0.001+(1001-1000)‰=0.002
1002歲0.002+(1002-1000)‰=0.004
1003歲0.004+(1003-1000)‰=0.007
可以看出即使是單純的死亡概率也不是線性增加，而代碼裏是：

      prob *= (1 - (i - 999) / 100)

按照我的初步計算，到1045歲（要麼是1046，之前算的記不清了）死亡概率就會超過1。
又算了一下

所以找這個表達式的最大值對應的n就可以了，其中n>1。
原本打算用求導算零點的辦法，但發現這玩意求導找零點太複雜了，所以還是用這個式子加程序解決吧。
上面累乘求積的n-2應該改爲n-1
程序直接丟給ai

def calculate_expression(n):

    product = 1

    for i in range(1,n):  # i從0到n-1

        numerator = 1998 - i**2 + i

        denominator = 2000

        product *= numerator / denominator

        # 當product過小時，忽略以避免精度丟失

        if product < 1e-10:

            product = 0

            break

    return (n**2 - n + 2) / 2000 * product

max_value = 0

best_n = 0

total_probability = 0

# 遍歷n值，解之前的P_n可以解出n的範圍在40多以下，

for n in range(2, 50):

    current_value = calculate_expression(n)

    total_probability += current_value

    if current_value > max_value:

        max_value = current_value

        best_n = n

# 驗證所有概率相加是否爲1

if abs(total_probability + 0.001 - 1) < 1e-6:#加上999歲死亡概率

    print(f"所有概率相加驗證通過，總和爲1。")

else:

    print(f"所有概率相加驗證失敗，總和爲 {total_probability}。")

print(f"最大值出現在 n = {best_n}，值爲 {max_value}")

最后修改： 羽落 (2025-01-06 10:32:12)

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若有謬誤，務必告知。

Anbach

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[↑] @羽落 寫道:   1000歲應該是0.001吧？   另外題目中   那麼1000歲死亡概率0.001 1001歲爲0.001+(1001-1000)‰=0.002 1002歲0.002+(1002-1000)‰= …

我犯了一個錯，把題目裏的“‰”看成“%”了。
更正這個錯誤後，最終結果是：

第1031年概率最高，概率爲0.0193839289。

我的思路應該沒有錯誤，由於死亡的事件發生只分布在第1000年至第1999年。
每一年對應的概率計算如下：

第1000次的概率是0.001
第1001次是0.999×0.002
第1002次是0.999×0.998×0.003
第1003次是0.999×0.998×0.997×0.004
......

我學這些已經是很久前了，我不記得這叫什麼分佈了。

總之概率將從第1000年開始逐漸增大，到達峯值後開始逐漸減小。

由於事件必定發生在區間第1000年至第1999年（第1999死亡概率爲1），對此區間上的每一年的概率求和，結果將爲1，可以以此驗證步驟正確性。我已驗證過結果正確性。

具體代碼如下：

# 定义发生概率的函数
def occurrence_probability(k):
    if k < 1000:
        return 0  # 前999次发生概率为0
    prob = 1.0
    for i in range(1000, k):  # 计算前 k-1 次未发生的概率
        prob *= (1 - (i - 999) / 1000)
        if prob < 1e-10:  # 避免过小的概率
            break
    prob *= (k - 999) / 1000  # 第 k 次发生的概率
    return prob

# 计算从第1000次到第1999次首次发生的概率
k_range = range(1000, 2000)
probabilities_range = [occurrence_probability(k) for k in k_range]

# 输出概率列表
for k, prob in zip(k_range, probabilities_range):
    print(f"第 {k} 次的概率: {prob:.10f}")

# 求和验证
total_prob = sum(probabilities_range)
print(f"从第1000次到第1999次的概率总和: {total_prob:.10f}")

羽落

虬龍

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[↑] @Anbach 寫道:    我犯了一個錯，把題目裏的“‰”看成“%”了。 更正這個錯誤後，最終結果是：  第1031年概率最高，概率爲0.0193839289。  我的思路應該沒有錯誤，由於死亡的事件發生只分布在第1000 …

  

[↑]

之後每年的死亡概率爲前一年死亡概率+n‰，n爲龍的當前年齡減1000。

那麼1000歲死亡概率0.001
1001歲爲0.001+(1001-1000)‰=0.002
1002歲0.002+(1002-1000)‰=0.004
1003歲0.004+(1003-1000)‰=0.007
可以看出即使是單純的死亡概率也不是線性增加。

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[↑] @羽落 寫道:        …

這位龍友需要複習一下條件概率的內容哦，不是這麼算的。 

Anbach

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[↑] @Anbach 寫道:    這位龍友需要複習一下條件概率的內容哦，不是這麼算的。  …

不，是我看錯了，不好意思（話說我爲什麼不能編輯帖子）

Anbach

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把坑全部踩了一遍，最後我的結果也是1015，概率爲0.066704

Saphira

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看來樓裏的三位龍友達成共識了  

接下來是第2題: 

你在遊戲中操控某個龍角色，龍的初始攻擊力爲100，初始攻擊間隔爲1000毫秒，每次攻擊時有多少攻擊力就造成多少傷害，該龍同時附帶100屬性點。你可以選擇消耗1屬性點使龍增加1.5攻擊力或縮短攻擊間隔至原先的99%。怎樣分配屬性點才能最大化龍造成的平均每秒傷害？

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龍爪翻書

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[↑] @Anbach 寫道:   不，是我看錯了，不好意思（話說我爲什麼不能編輯帖子） …

需要達到：虯龍，發帖數100     
https://yinglong.org/forum/viewtopic.php?id=234

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分享chatGPT的網址
https://chatgpt.com/share/677b05f4-3864-8004-a5bf-b273da0bfe0f

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[↑] @龍爪翻書 寫道:    需要達到：虯龍，發帖數100      

其實50就夠了。
<-- posts<100
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奇怪，我算的結果是

最大值出現在 n = 17，值爲 0.075524169

也就是1016歲，並且概率差的很遠，計算總和爲 1.15395，但是我找不出來是哪出了問題。
找到原因了，累乘求積那裏應該是n-1，原本寫的是n-2。現在結果沒問題了：

所有概率相加驗證通過，總和爲1。
最大值出現在 n = 16，值爲 0.06670382814313602

最后修改： 羽落 (2025-01-06 10:29:34)

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2.

感覺就是計算量略大，還是直接丟個ai跑代碼輕鬆。肯定不是因爲我並沒有學過python：

def calculate_dps(attr_points_attack, attr_points_interval):
    # 初始攻擊力
    attack_power = 100
    # 初始攻擊間隔（毫秒）
    attack_interval = 1000
    # 總屬性點
    total_attr_points = 100
    # 消耗屬性點增加攻擊力
    attack_power += attr_points_attack * 1.5
    # 消耗屬性點縮短攻擊間隔
    attack_interval *= (0.99 ** attr_points_interval)
    # 每秒攻擊次數
    attacks_per_second = 1000 / attack_interval
    # 每秒傷害
    dps = attack_power * attacks_per_second
    return dps


def main():
    max_dps = 0
    best_attr_points_attack = 0
    best_attr_points_interval = 0
    # 窮舉所有可能的屬性點分配方式
    for i in range(101):
        for j in range(101 - i):
            k = 100 - i - j
            dps = calculate_dps(i, j)
            if dps > max_dps:
                max_dps = dps
                best_attr_points_attack = i
                best_attr_points_interval = j
    print(f"最大每秒傷害爲: {max_dps}")
    print(f"最佳的屬性點分配方案是將 {best_attr_points_attack} 點分配給攻擊力，{best_attr_points_interval} 點分配給攻擊間隔。")


if __name__ == "__main__":
    main()

最后修改： 羽落 (2025-01-06 13:12:08)

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第二個像是我學編程時，書上的作業題。

還是扔給chatGPT寫代碼。

# 动态调整方案代码（将单位从ms转换为s）
# 初始参数
attack = 100  # 初始攻击力
interval = 1.0  # 初始攻击间隔(s)
points = 100  # 升级点数
attack_increase = 1.5  # 每次提升攻击力
interval_multiplier = 0.99  # 每次攻击间隔缩短的比例

# 记录最终分配
attack_upgrades = 0
interval_upgrades = 0

# 动态分配点数
for _ in range(points):
    # 计算两种升级后的DPS
    dps_increase_attack = (attack + attack_increase) / interval
    dps_increase_interval = attack / (interval * interval_multiplier)
    
    # 比较收益，选择收益更高的升级
    if dps_increase_attack > dps_increase_interval:
        attack += attack_increase
        attack_upgrades += 1
    else:
        interval *= interval_multiplier
        interval_upgrades += 1

# 最终DPS
final_dps = attack / interval

# 输出结果
print(f"动态调整：攻击力升级 {attack_upgrades} 次，攻击间隔升级 {interval_upgrades} 次")
print(f"最大DPS为 {final_dps:.2f}")

結果是：

动态调整：攻击力升级 33 次，攻击间隔升级 67 次
最大DPS为 293.15

龍爪翻書

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直接用chatGPT，可能計算的精度不夠     

理論實數解一樣是 32.8

但是到整數時，卻認為攻擊力增加35是最高     

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沒想到第2題這麼快就被攻克了

下面是壓軸的第3題: 

在一個DnD主題的養成類遊戲中，玩家可以嘗試用3只幼龍合成1只青年龍，用3只青年龍合成1只成年龍，用3只成年龍合成1只古龍，用3只古龍合成1只太古龍。每次合成有50%的概率成功，若成功則玩家失去3只低等級龍而獲得1只更高等級的龍，若失敗則玩家無法獲得更高等級的龍但返還1只參與合成的龍。如果要使獲得太古龍的概率大於等於75%，玩家需要擁有多少隻幼龍？

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利用了一點小技巧解決問題3

通過求解單位“幼龍”對最終“太古龍”合成期望的貢獻，最後能輕易求出答案。

仍然是chatGPT編寫的代碼，使用了更精確的數據類型以避免較大誤差：

from decimal import Decimal, getcontext

# 设置高精度
getcontext().prec = 50

def calculate_min_level1_items(target_expectation=Decimal('0.75')):
    # 定义每级物品所需等级1物品数量（用高精度Decimal表示）
    level2_cost = Decimal('4.5')  # 合成1个等级2需要的等级1数量
    level3_cost = level2_cost * Decimal('3')  # 合成1个等级3
    level4_cost = level3_cost * Decimal('3')  # 合成1个等级4
    level5_cost = level4_cost * Decimal('3')  # 合成1个等级5

    # 计算各等级单位等级1物品的贡献
    unit_contribution_level2 = Decimal('1') / level2_cost
    unit_contribution_level3 = Decimal('1') / level3_cost
    unit_contribution_level4 = Decimal('1') / level4_cost
    unit_contribution_level5 = Decimal('1') / level5_cost

    # 计算单位等级1物品对等级5的期望贡献
    total_unit_contribution = unit_contribution_level5

    # 计算所需等级1物品数量
    min_level1_items = target_expectation / total_unit_contribution

    # 返回向上取整的结果（因为物品数量必须为整数）
    return min_level1_items.to_integral_exact(rounding='ROUND_CEILING')

# 调用函数
result = calculate_min_level1_items()
print(f"获得0.75个等级五物品至少需要的等级一物品数量: {result}")

輸出的結果爲：

获得0.75个等级五物品至少需要的等级一物品数量: 92

即需要92只幼龍。

龍爪翻書

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我這次的chatGPT說：

「期望消耗」是625隻

要達到至少 75% 以上的成功率，需要 700 多隻，它選擇729 這個漂亮的整數

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[↑] @Anbach 寫道: 利用了一點小技巧解決問題3  通過求解單位“幼龍”對最終“太古龍”合成期望的貢獻，最後能輕易求出答案。  仍然是chatGPT編寫的代碼，使用了更精確的數據類型以避免較大誤差：     輸出的結果爲： …

我才發現chatGPT怎麼連（2×0.5+3×0.5）×2都能算錯算得4.5，正確結果應該是5。

修正之後的最終結果是

获得0.75个等级五物品至少需要的等级一物品数量: 102

Anbach

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[↑] @Anbach 寫道: 利用了一點小技巧解決問題3  通過求解單位“幼龍”對最終“太古龍”合成期望的貢獻，最後能輕易求出答案。  仍然是chatGPT編寫的代碼，使用了更精確的數據類型以避免較大誤差：     輸出的結果爲： …

代碼還是錯的，chatGPT默認只考慮了第一步合成需要計算期望值，不檢查都沒注意到。

應該是這樣：

from decimal import Decimal, getcontext

# 设置高精度

getcontext().prec = 50

def calculate_min_level1_items(target_expectation=Decimal('0.75')):

    # 定义每级物品所需等级1物品数量（用高精度Decimal表示）

    level2_cost = Decimal('5')  # 合成1个等级2需要的等级1数量

    level3_cost = level2_cost * Decimal('5')  # 合成1个等级3

    level4_cost = level3_cost * Decimal('5')  # 合成1个等级4

    level5_cost = level4_cost * Decimal('5')  # 合成1个等级5

    # 计算各等级单位等级1物品的贡献

    unit_contribution_level2 = Decimal('1') / level2_cost

    unit_contribution_level3 = Decimal('1') / level3_cost

    unit_contribution_level4 = Decimal('1') / level4_cost

    unit_contribution_level5 = Decimal('1') / level5_cost

    # 计算单位等级1物品对等级5的期望贡献

    total_unit_contribution = unit_contribution_level5

    # 计算所需等级1物品数量

    min_level1_items = target_expectation / total_unit_contribution

    # 返回向上取整的结果（因为物品数量必须为整数）

    return min_level1_items.to_integral_exact(rounding='ROUND_CEILING')

# 调用函数

result = calculate_min_level1_items()

print(f"获得0.75个等级五物品至少需要的等级一物品数量: {result}")

結果是：

获得0.75个等级五物品至少需要的等级一物品数量: 469

（不能編輯帖子真的好麻煩）💦

羽落

虬龍

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回应： 2025龍主題數學競賽計劃

看到又是概率題就知道完蛋了 
換了好幾個ai，但是不同會話算出來的值差幾千，甚至有小於81的（倒是祕塔爆冷給了個625的期望值，很接近模擬），果然國內這方面還趕不上，最後得老老實實自己算。
一通數學+玄學計算配合模擬程序迭代10000次算出來的629期望值得出最終答案740，和前兩題比感覺底氣嚴重不足......
EDIT:更正爲1250。反正兩個答案過程都挺玄乎的
EDIT2:更改爲787……
這次就是自己敲的暴力近似了：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#define CYCLES 300000
#define LIMIT 785

void level_up(int* low_level_list, int* low_level_count, int* high_level_list, int* high_level_count) {
    if (*low_level_count == 3) {
        int a = rand() % 2;
        if (a) {
            high_level_list[*high_level_count] = 1;
            (*high_level_count)++;
            *low_level_count = 0;
        } else {
            *low_level_count -= 2;
        }
    }
}

int main() {
    srand(time(NULL)); // 初始化隨機數種子
    int sum_high = 0;

    for (int i = 0; i < CYCLES; i++) {
        int list_1[3] = {0};
        int list_2[3] = {0};
        int list_3[3] = {0};
        int list_4[3] = {0};
        int list_5[1] = {0};
        int count_1 = 0, count_2 = 0, count_3 = 0, count_4 = 0, count_5 = 0;
        int sum_low = 0;

        while (count_5 != 1) {
            list_1[count_1] = 1;
            count_1++;
            sum_low++;
            level_up(list_1, &count_1, list_2, &count_2);
            level_up(list_2, &count_2, list_3, &count_3);
            level_up(list_3, &count_3, list_4, &count_4);
            level_up(list_4, &count_4, list_5, &count_5);
        }

        if (sum_low < LIMIT) {
            sum_high++;
        }
    }

    printf("total sum=%.6f\n", (double)sum_high / CYCLES);
    return 0;
}

EDIT3:更換爲C語言增強性能並增加迭代數and修正原本代碼的bug。最小值應該是784。

最后修改： 羽落 (2025-01-12 22:27:05)

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若有謬誤，務必告知。

Saphira

虬龍

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這次就是自己敲的暴力近似了

不知道有沒有程序模擬外的數學方法 

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有 1 位朋友喜欢这篇文章：羽落

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“Let there be light!”
And there was light.

Saphira

虬龍

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莫名覺得整體難度有點高，考慮略微降低正式活動的平均難度（不然中學龍友一題都不會做有點尷尬）

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“Let there be light!”
And there was light.